Могут ли они претендовать на членство в ООН? Может ли членом ООН стать Ватикан?

Ватикан не может быть членом ООН, потому что это не государство в общепринятом значении, а государствоподобное образование.
Что касается первого вопроса. Да, по Конституции являются государствами. Но республики являются национально-государственными образованиями, то есть формой государственности того или иного народа (народов) в составе России, и при этом не являются суверенными. Таким образом, республики в составе РФ не могут быть членами ООН, т.к. не обладают суверенитетом. P.S. В Конституции даётся государство в скобках, все нюансы прописаны в Постановлениях РФ.

Да, по Конституции являются государствами. Но республики являются национально-государственными образованиями, то есть формой государственности того или иного народа (народов) в составе России, и при этом не являются суверенными. Как указано в Декларации о принципах международного права, касающихся дружественных отношений и сотрудничества между государствами в соответствии с Уставом Организации Объединенных Наций от 24 октября 1970 г. при реализации права народа на самоопределение ничто не должно толковаться как "санкционирующее или поощряющее любые действия, которые вели бы к расширению или к частичному или полному нарушению территориальной целостности или политического единства суверенных и независимых государств, имеющих правительства, представляющие весь народ, принадлежащий к данной территории, без различия расы, вероисповедания или цвета кожи"
Все сказанное нисколько не ущемляет права народов на самоопределение. Оно признается и может быть реализовано в различных формах, в числе которых и вхождение в состав другого государства, однако только при соблюдении указанных выше условий. Таким образом, республики в составе России не являются государствами в международно-правовом смысле этого слова, так как не обладают суверенитетом, следовательно, членами ООН они не могут быть, их интересы представляет Российская Федерация.

2) Ватикан - религиозное государство, подобное образование имеет представительство в ООН, но стать членом ООН Ватикан не может, так как это все-таки не государство.