Что означают слова гигия и мели? Предполагаю, что это какие-то термины родства, язык возможно греческий.

Мели - это мёд, по гречески - ????
А вот второе слово.... не знаю.. .

хотя, греческий знаю хорошо. Покажите, где вы это взяли!