в честь кого или чего назван город гайсин?

В 1569 году после Люблинской унии территория Брацлавщины была присоединена к Речи Посполитой. Через 11 лет после образования Брацлавского воеводства (1580) земли, расположенные в среднем течении реки Соб, были подарены польским королем Стефаном Баторием шляхтичу Тромчинському.
Территорию эту назвали Гальщиной. С этого времени и начинается история города Гайсина, который ещё называли Гайшин (евр. Гейсин, старые названия Уйсин, Айсин, Гальшин)

Есть несколько версий происхождения названия города.

- Легенда.
Гайсин был имением одного господина и находился среди густых лесов и болот. Его сын, который очень любил охотиться, попал в непроходимое болото и исчез там бесследно. Это так повлияло на убитого горем отца, он сошел с ума и стал ходить лесами и болотами, кричать: «Эй, сын» Оттуда название «Гейсин» , позже «Гайсин» .

-Слово Гальшин происходит от польско-литовского названия «лесничество» . Край в те времена был покрыт густыми лесами.

- Краевед П. Мельник с Козятинского района считает, что Гайсин как город возродился на месте уничтоженного поселения с названием, происходившей от имени праславянского бога юга и потустороннего мира Гайтосира. Символом этого бога была птица в небе. Среди многих названий аистов есть и «гайтошир» . Доказательством этой версии может быть и древний герб Гайсина - крыло на фоне голубого неба-юга.

- Название Гайсин происходит от слов Гайшин, гейшин - «лесная сторожка» , «жилище лесника» (лесника раньше называли лесным, гаивником) .
http://uk.wikipedia.org/wiki/Історія_Гайсина

В исторических документах поселение Гайсин (Уйсин на Собе) в Брацлавском старостве Великого княжества Литовского упоминается впервые в 1545 г. , в то время это было владение князей Соколинских.
В 1577 г. польский король Стефан Баторий передал его вме сте с окрестными землями в управление гетману запорожского войска И. Орышевскому. В 1600 г. это частновладельческое поселение с двумя слободами получило городские привилегии.
http://jukraine.org/vinnickaya-oblast/gajsin/