На каком
расстоянии х от центра нужно повесить тонкий стержень заданной длины эль, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с
максимальной частотой? Чему равно это значение?
Надо найти минимум величины 2π√(J/(mgh)), где J - момент инерции,
а h - расстояние от ЦТ до точки подвеса.
По теореме Штайнера J=ml²/12+mx²=m(l²+12x²)/12; h=x
T(x)=2π√((l²+12x²)/(12gx)). Очевидно, что всё выражение можно не дифференцировать,
а посчитать только ((l²+12x²)/(12gx))'=0; да еще и поделить почленно.
(l²/12gx)'+(x/g)'=0; (l²/12g)(-1/x²)+(1/g)=0; 1/x²=12/l², x=l√3/6.
⇢