Очень прошу, объясните, пожалуйста, геометрический смысл производной второго и выше порядков.

У второго порядка тоже есть геометрический смысл: она показывает.. . как бы поизящнее сформулировать.. . кривизну кривой. То есть у прямой линии вторая производная вообще ноль, везде. У, скажем, арктангенса в нуле (где перегиб) и на бесконечности (где асимптоты) она тоже нулевая. Так что чем больше вторая производная (по абсолютной величине) - тем сильнее искривлён график функции.