После исключения величин высшего порядка малости, можно написать:
Дифференциал функции по пути равен расстоянию, которое прошла бы мат. точка за бесконечно малый промежуток времени dx, как если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости в момент времени х0
Дифференциал функции приближенно равен малому
изменению функции при малом изменении аргумента.
Если аргумент - время, а функция - координата, то
дифференциал приближенно равен приращению
координаты за малый промежуток времени. Чем
короче интервал времени, тем точнее приближение.
Физический смысл дифференциала можно раскрыть на примере неоднородного стержня.
Пусть его масса задана функцией от текущей длины стержня:
m = y(x)
Разделим стержень на тонкие диски толщиной dx.
Тогда дифференциал этой функции и есть масса какого-либо из этих дисков:
dm = y`(x)dx = ρdx
Здесь ρ = y`(x) = dm/dx - линейная плотность.