А есть ли смысл наливать фильтрованную воду в чайник, если ее все равно кипятить?

Фильтрация - это не дезинфекция. Вот по весне воду из водопроводных кранов даже в кипячённом виде пить невозможно, так хлорируют на всякий случай, что вкус становится отвратительным. А иногда вода такая жёсткая становится, что чай не заваривается. Но хозяин барин, что хотите, то и делайте.

фильтрация и кипячение приследуют разные цели, фильтруют от примесей, кипятят от микробов

Чайнику меньше вредной накипи достанется.

Зависит от воды.

Более того-в фильтре то микробы и живут Там же тепло и сыро

Но ведь не вскипятив воду Вы чай не заварите, а если, как Вы пишете у Вас в кране вода родниковая, то зачем ее фильтровать?