Докажите, что если функция f(x)дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений x1 и x2 выполнено равенство f(x1+x2 )=f(x1 )+f(x2 ), то f' (x) постоянная.
По идее, если функция дифференцируема, значит в каждой точке x\in R существует конечный предел:
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)+f(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}
Полученный предел существует и не зависит от переменной х, значит, является постоянной, т. е. f'=const.
Возможно, это верное доказательство 
Чтобы увидеть формулу, можете скопировать ее сюда: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php и увидите картинку с формулой.
⇢