Как такой пример может быть истинным? Можно привести пример на подобие этого?

Да пожалуйста



Это называется формулы Фаульхабера
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html
твоя, собственно, самая примитивная, для n=1. В школе ещё иногда предлагают её доказать для n=2 или n=3 (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE), обычно так же, как у тебя, по индукции. Можно вывести для всех степеней (в википедии, собственно, она и есть для общего случая)
Доказывается весьма легко даже без метода индукции, школьным способом. Я в 10 классе решал задачу на её доказательство через разность полиномов n+1 степени.