Ряд Фурье Мне надо разложить в ряд Фурье sh(x) [-pi, pi], коэффициенты у меня получились равные нулю, возможно ли такое?

вообще-то интегралы тут легко считаются по частям.

для cos kx * sinh x можно и не считать, функция нечетная, по симметричному интервалу интеграл нулевой.

для sin kx * sinh x надо посчитать, взять два раза по частям и выразить интеграл, получится что-то типа (cosh x * sin kx - k cosh x * sin kx) / (1+k^2), ни при каком k > 0 это не даст ноль.

ну, например, sin x * sinh x от -Пи до Пи всюду положительна, кроме трех корней - нуля и концов интервала. Так что интеграл обязан быть положительным.

вообще-то функции Фурье (синусы и косинусы от kx) образуют полный базис в том смысле, что любая хорошая функция по нему раскладывается. Если бы мы нашли какую-то функцию дающую ноль в интеграле Фурье, это означало бы, что она ортогональна всему базису, и базис можно ею дополнить.