Имеет ли права медсестра в детском садике не выдать на руки медицинскую карту родителю, для поступления в школу.

нет, не имеет. и это не право, а обязанность.

Если карта для школы оформлялась-- обязана выдать. Значит, какая--то причина была, если отказала. Ей эта карта не нужна и работает медсестра, наверняка, не первый день-- знает права и обязанности.