трудовой договор заключен, но в трудовую книжку не записали, идет ли стаж и запишут ли при расчете

Стаж идет если идут отчисления в соответствующие фонды. Договор может быть заключен для успокоения души, причем Вашей. Можно попросить отдел кадров выдать копию трудовой книжки, тапа на кредит, вот посмотрите, придется делать запись. и справку на всякий случай НДФЛ возьмите, если работодатель плут, будут доказательства в суде о факте трудовых отношений