Как звучит определение координат вектора В базисе?

Начнём с того, что коллинеарные (а не «параллельные»! ) векторы базиса не образуют. По определению, система векторов, образующих базис линейно независима. Пусть задана система линейно независимых векторов e[1], e[2],...e[n]. Координатами вектора b в заданном базисе называется кортеж (b[1], b[2],...b[n]), такой, что ‾b=∑b[i]‾e[i], i=1...n.

Любой вектор на плоскости, например, можно представить как сумму двух других векторов, каждый из которых умножен на какое-то число. То есть:

A = aX + bY

A, X, Y - векторы. a и b - числа. Векторы X и Y образуют базис. Числа a и b являются координатами вектора А в этом базисе.

Векторы X и Y могут быть любыми (но не параллельными! ) , но если они заданы, числа a и b определяются однозначно.

Аналогично можно задать вектор в 3-х мерном пространсте, тогда басизных векторов будет три (не лежащих в одной плоскости) , будет и три координаты: A = aX + bY + cZ.