Могу ли я публиковать общедоступные фото с других сайтов на своём сайте? или надо у них разрешения спрашивать?

без разрешения автора публиковать нельзя.
В вашем случае это "украл, потому что плохо лежало, а мне это надо".

Как правило, никаких претензий не будет, если укажите источник и автора.

В крайнем случае автор (если вдруг заметит) может потребовать убрать фото с вашего сайта.

Если общедоступные, то да

Читайте внимательно правила сайта откуда берете изображения, и того, на который выкладываете.

В России многое можно.
Но если в цивилизованной стране вы решите выкладывать чужие снимки без разрешения - то однозначно будут проблемы.

нельзя, только с указанием ссылки на автора, мои фото воровали, написала, чтоб удалили-удалили

У меня есть фотография Гагарина в первые часы после приземления. Фотографировал не я. Я перефотографировал в 1977 году из альбома одной бабушки, вахтера в общаге где я жил, утверждавшей что снимок сделан её сыном. Сейчас я в инете нахожу эту фотографию с разным авторством. Чаще всего авторство приписывается Александру Бойчуку. Например тут
http://www.volgograd.ru/gallery/reports/2011/gagarin/326089.pic
но везде картинка с хужшим качеством и урезана. Половина людей справа отрезана. Кто они (один из них герой СССР) - я не знаю.
А я публиковать, из этических, соображений не решаюсь. А юредические претензии предъявлять уже (очевидно) некому.