Математики и любители логично подумать сюда. (за 9 класс)

Question

Завтра олимпиада по математике, а думать над задачками нет сил. Заболела, а сдать всё таки нужно. Помогите*

1.Є 25 коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них знайдуться 9 коробок цукерок того самого сорту.

2.10 школярів на олімпіаді розв"язали 35 задач, причому відомо, що серед них є школярі,яку розв"зали рівно одну задачу, які розв"язали дві задачі,і школяри, які розв"язали рівно три задачі.

Доведіть, что є школяр, який розв"язав не менше ніж 5 задач.

3.Знайдіть суму коренів рівняння (х-1)३ (тобто в степені 3) = 4(х-1)

4.Є три купки камінців :у першій - 10,у другій - 15,у третій - 20.За один хід дозволяється розбити будь-яку купку на дві менші.Програє тот, хто не зможе зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

5.Запишіть наступний член послідовності 111,213,141,516,171...

Заранее спасибоооо*

Вот на русском языке.

1.Есть 25 коробок конфет трех сортов. Докажите, что среди них найдутся 9 коробок конфет того же сорта.

2.10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, которую решили ровно одну задачу, которые решили две задачи, и школьники, которые решили ровно три задачи.

Докажите, что есть школьник, который решил не менее 5 задач.

3.Найдите сумму корней уравнения (х-1) 3 (т. е. в степени 3) = 4 (х-1)

4.Есть три кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третей - 20.За один ход разрешается разбить любую кучку на две меньше. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

5.Запишите следующий член последовательности 111,213,141,516,171 ...

Только всё нужно обьяснить. Что б было понятно.

Юра · Accepted Answer

жалко что я не понимаю по-украински
1. Предположим, что коробок конфет одного и того же сорта меньше 9. Тогда общее количество коробок будет меньше 25. Например, если даже всех сортов по 8 коробок, то всего будет 24 коробки. Тогда оставшаяся, будет 9 коробкой конфет одного из сортов. Что и требовалось доказать.

2. если всего 10 учеников решило 35 задач, то при этом каждый ученик в среднем решит 3,5 задачи, но при этом есть ученики, которые решили по 1,2,3 задачи. Если мы берем как обязательное, что хотя бы 1 ученик решил 5 задач, мы получаем-1 по 5 задачи на остальных 9 учеников по 30 задач. при этом условии на оставшихся 9 учеников в среднем 3,3 задачи, а это значит, что у нас уже есть как минимум 2 ученика, решившие по 5 задач.

4. Всего имеется 45 камней. В итоге мы получим 45 кучек по одному камню. Для того, чтобы первую кучку разложить по одному камню, надо 9 ходов, для второй кучки понадобиться 14 ходов, для третьей — 19 (число ходов не зависит от того, отделяем по одному камню или по несколько) . Итак, число ходов 9+14+19=42 и это число не зависит от того какие ходы делают партнеры. Последний, четный ход делает второй и выигрывает.

5. 819) чтобы было понятно. . приглядитесь, через единицу идут числа по возрастающей от 1 и дальше 2, 3, и т. д.

Юрок Сергеевич · Answer

1. Есть 25 коробок конфет трех сортов. Докажите, что среди них найдутся 9 коробок конфет одного сорта.
Если даже сорта конфет распределятся максимально равномерно по количеству, то делим и получаем 25/3=8 (и 1 в остатке) . Единица в остатке как раз и гарантирует нам, что одного сорта будем минимум 9 коробок.
2.10 школьников на олимпиаде разрешили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, которые решили ровно одну задачу, которые разрешили две задачи, и школьники, которые разрешили ровно три задачи.
Докажите, что есть школьник, который решил не менее 5 задач.
Из условия известно, что есть минимум 1 ученик решивший 1 задачу, ещё 1 - решивший 2 задачи и ещё 1 - решивший 3 задачи. На этих трёх учеников приходится 6 решённых задач. Тогда на оставшихся 7 учеников приходится 29 решенных задач. Если распределить 29 решенных задач равномерно по 7 ученикам, то получим по 4 решенных задачи на каждого и плюс 1 задача в остатке. То есть минимум один ученик решил 4+1 задачи.
Очевидно, что если количество учеников решивших по 1, 2 и 3 задачи больше трех, то и на остальных приходится большее количество решенных задач.
3. Не уверен, что правильно, олимпиадная - значит с подвохом, а я его не вижу. . 
Упрощаем (х-1)(х-1)(х-1)=4(х-1)
(х-1)(х-1)=4 откуда очевидно х=3 и х=(-1). Сумма корней равна 2
4.Есть три кучки камней :в первой - 10,во второй - 15,в третий - 20.За один ход разрешается разбить любую кучку на две менші. Програє тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?
Если у играющих остаётся кучка из двух камней, выигрывает тот, чей ход. Если остаётся кучка из трёх камней, то тот чья очередь ходить проигрывает. Разобьём все кучки мысленно на кучки из двух и трёх камней.
10= 2+2+2+2+2 пять кучек ход переходит ко второму игроку, второй начинает 15=2+2+2+2+2+2+3 и ход остаётся у второго 20=2+2+2+2+2+2+2+2+2+2. Последнюю кучку из двух камней всегда разберет ВТОРОЙ (проверил после того как посмотрел ответ выше, там решение более изящное, ставлю лайк) игрок, ПЕРВЫЙ игрок всегда в проигрыше. Надо было учесть количество операций разбиения на кучки (это плюсики между ними) .
5.Запишите следующий член последовательности 111,213,141,516,171..
Для нечетных номеров последовательности имеем
111+30=141
141+30=171, то есть возрастают на 30
Можно предположить, что 2й и 4й и 6й и последующие четные члены последовательности возрастают по похожей закономерности
516-213=303, тогда получаем 516+303=819
Последовательность записываем:
111,213,141,516,171, 819, ..

Анюточка · Answer

ааааааааааааа