Если закончить специальность медсестры, на кого можно дальше идти учиться по медицинской лестнице ?

Судя по тексту, Вам не надо в медицину. Ваша безграмотность будет стоить кому то жизни.

Нельзя закончить специальность.

Можно закончить какое либо учебное учреждение по конкретной специальности.

старшая сестра, доктор

Можно, конечно.

На главного врача.