Куди вказує тінь від вертекального стержня в полудень?

В астрономический полдень - точно на север (в южном полушарии на юг) .
В экваториальных широтах может на север, может на юг, а может и тень вообще отсутствовать. Зависит от широты и времени года.

На северном полюсе тень всегда показывает на юг, т. к. других направлений там нет (соответственно, на южном полюсе всегда на север) .

Если брать полдень (12:00) по "официальным" часам, то могут быть небольшие отклонения от этого.