Оплачивается ли больничный лист, или продлеваются дни отдыха во время нахождения в очередном трудовом отпуске?

Дни по болезни в счет отпуска не идут.

при условии, что на больничном были Вы

Если во время отпуска вы заболели и были на больничном сколько-то дней, то отпуск продлевается на такое же количество дней.

Во время нахождения в ЕОО, б/л оплачивается только если болели сами, по уходу нет. ЕОО может быть продлён на количество дней б/л или перенесён на другое время. Для этого надо появиться на работе, после закрытия б/л и написать заявление о продлении, либо переносе оставшейся части ЕОО.
Выдержка:
Статья 124. Продление или перенесение ежегодного оплачиваемого отпуска.
Ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, определяемый работодателем с учетом пожеланий работника, в случаях: временной нетрудоспособности работника;

продлеваются только по вашему заявлению, если такового нет, значит дни возвращаются, отпускные пересчитываются и отнимаются уже из з\п.