Верно ли грамматически следующее предложение : No one can't remember everything.

Вам уже всё тут правильно написали. В "академическом" английском нет "ни", т. е. написанное следует понимать, как "Нет такого человека, который не мог бы запомнить всего". Т. е. как умножение отрицательных чисел - минус на минус даёт плюс.
Однако ж на англоязычных форумах отмечают, что в разговорном языке, особенно в его американском варианте, всё чаще такие фразы употребляют в значении "Никто не может.... "