Задача по математике (5 класс)

xxyy=xx*100+yy=11*x*100+11*y=11(100x+y)=точный квадрат
Значит 100х+y делится на 11

Но 100х+y=99x+x+y

Значит x+y делится на 11.

Дальше перебор:

x=2 y=9, 2299
x=3 y= 8 3388

...

x=9 y=2 9922

проверяем эти 8 чисел и делаем вывод: ни одно из них не полный квадрат.
Значит число вида ххyy не может быть полным квадратом

xxxyyy=xxx*1000+yyy=x*111*1000+111*y=111(1000x+y)=полный квадрат

Значит 1000x+делится на 111

Но 1000x+y=9*111x+x+y делится на 111

Значит x+y делится на 111.

Но x+y <19. Противоречие.

Значит xxxyyy не может быть полным квадратом.

А теперь попробуйте сделать вывод: число вида xxxxx...xxyyyyy...yyy (количество цифр х и количество цифр у одинаково) , является ли полным квадратом? :)

xxyy = xx*100 + yy = n^2,
x*11*100 + y*11 = n^2,

т. о. n^2 делится на 11, но тогда и n делится нацело на 11, а n^2 делится на 11^2. Т. о. пусть n=11*k, тогда n^2 = 121*k^2,

11*( x*100 + y) = 121*k^2,

(x*100 + y)= 11*k^2, (1)

т. е. число (x*100 + y ) делится нацело на 11, т. е.

99*x + x + y = 11*k^2,

(x+y) обязано делится на 11.

x - это число, выражаемое одной цифрой, отличной от нуля.

y - это число, выражаемое одной цифрой.

но тогда (x+y)>0, кроме того (x+y) <=18,

Т. о. единственный возможный вариант x+y = 11.

Рассмотрим все возможные такие (x,y)

(x,y) = (2,9), (9,2), (3,8), (8,3), (7,4),(4,7),(5,6),(6,5).

после деления числа x0y на 11, должен получиться точный квадрат (см. (1))

209/11 = 19, (не год. )

902/11 = 82 (не год. )

308/11 = 28 (не год. )

803/11 = 73 (не год. )

704/11 = 64 = 8^2 - годно!

407/11 = 37 (не год. )

506/11 = 46 (не год)

605/11 = 55 (не год)

Т. о. годной является только пара (x,y) = (7,4)

7744 является точным квадратом. (88)^2 = 7744.