По покупкам. По сути любой большой торговый центр. Типа Европейского, Афимола (там народа меньше) , Гагаринского, Рио (далековато, но там и без шопинга может быть интересно, т. к. можете заодно сходить в океанариум, но это не самый ближний свет) можете посмотреть и Охотный ряд (все те же марки и в центр Москвы прямо рядом с Кремлем) .
По достопримечательностям москвичи тоже ходят. И что могу посоветовать. От Красной площади можете взять автобусную экскурсию по Москве, покажут основные достопримечательности, автобусы сити тур... ну тоже вариант. Из того что можно посмотреть и без автобуса, Красная площадь и обязательно Кремль, и музеи Кремля Оружейную палату и алмазный фонд. Прогуляйтесь по Александровскому саду, и можно пешком дойти до Музея им. Пушкина (действительно интересно) посмотрите. Можете пройти дальше и дойти со храма Христа Спасителя, и можете пройти дальше по бульварам до Арбата, и дальше до Тверской. Если идти в обратную сторону от Кремля увидите Большой театр и можете пройтись до Кузнецкого моста. Еще из того, что еще не написали усадьба Кусково, парк Горького.