найдутся ли три натуральных числа такие, что сумма любых двух из них можно представить в виде степени с основание три?

Нет.
Допустим можно, тогда
a + b = 3^m
a + c = 3^n

b + c = 3^p

сложим

a + b + c = (3^m + 3^p + 3^n)/2

Сумма трех нечетных чисел нечетная, нечетное делить на четное получим дробь, т. е. правая часть не целая, что противоречит условию что числа натуральные.