На каком сайте можно посмотреть, нет ли у меня налоговых задолжностей перед государством?

Проблемы могут возникнуть только после решения суда о взыскании долгов. До этого момента, можете спокойно выезжать заграницу.

набери в яндексе - узнай свою задолженность, выведет на страницу налогового органа, заполняешь фамилию имя отчество ИНН, высветит.
суды могут часто решать и без вас. если вы имеете ООО к примеру.
здесь:
https://service.nalog.ru/debt/req.do
там сразу можно платежки печатать