При каких значениях параметра а система `{(|x| + |y| + | |x| - |y| | = 6),(|x| + |y| = a):}` имеет наибольшее возможное

Наибольшее возможное число решений?
Для начала определим, что при а <= 0 решений нет.
Решаем графически.
График первого уравнения - квадрат с вершинами (3;3), (-3;3), (-3;-3), (3;-3).
График второго уравнения - квадрат с вершинами (0;а) , (-а; 0), (0;-а) , (а; 0).
Сжимая-разжимая второй квадрат, получим:
1) при a < 3 - решений нет;
2) при а=3 - 4 решения;
3) при 3 < a < 6 - 8решений;
4) при а=6 - 4 решения;
5) при а > 6 - решений нет.
Ответ: при 3 < a < 6.