Подскажите пожалуйста, скоро получу загран, могу ли я выехать сразу в любую страну или у паспорта должен быть срок?

Можно сразу, определенно .

сразу выехать вряд ли получится, т. к. у вас, полагаю, нет визы.. . ни одной... .
а новизна паспорта никак не влияет на сроки путешествия.. . при открытой визе и перенесненной в новый паспорт - хоть прям из паспортного стола стразу в аэропорт

..есть страны в которые вы можете поехать сразу по коллективной визе, для этого обратитесь в турагенство....

Паспортом сразу можете начать пользоваться)) ) если с вылетом сразу после получения загранпаспорта, то, конечно, это будет безвизовая страна, страна с упрощенным визовым режимом (виза по прибытии, про-виза) или срочная виза.

Можно сразу в любую безвизовую страну.