Русский. Какая часть речи (ПО-РАЗНОМУ) ?

О частеречной принадлежности слова ПО-РАЗНОМУ говорит даже его написание. Приставка ПО- пишется через дефис только в НАРЕЧИЯХ с суффиксами -ОМУ, -ЕМУ, -И на конце: по-новому жить, по-зимнему холодно, говорить по-русски.

ПО-РАЗНОМУ – это НАРЕЧИЕ, так как:
◆ относится к глаголу или его особым формам и отвечает на вопросы КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? (думать по-разному; видеть по-разному), реже – к прилагательному (по-разному близкие, по-разному умные);
◆ обозначает признак действия или признак признака;
◆ не изменяется;
◆ в предложении чаще всего является обстоятельством образа действия (Жили по-разному: и хорошо, и плохо, и совсем никуда. [В. Токарева. «Своя правда» – Как, каким образом жили?]) или меры и степени (Это по-разному близкие нам люди. – Близкие в какой мере, в какой степени? по-разному), а могут входить в состав определений, выраженных причастными оборотами (Есть люди, по-разному реагирующие на погоду. – Какие люди? по-разному реагирующие на погоду), и обстоятельств, выраженных деепричастными оборотами (По-разному ведя линию доказательств, мы пришли к одному и тому же выводу. – Пришли несмотря на что? по-разному ведя линию доказательств = хотя по-разному вели линию доказательств. Деепричастный оборот, включающий в свой состав и наречие ПО-РАЗНОМУ, в этом предложении – обстоятельство уступки).