ПРАВИЛО.
Это числительное имеет две формы рода. Если оно употребляется с существительными мужского и среднего рода, то тогда используется форма с О (обоим, обоих, обоими). Например: Подружился с обоими мальчиками. ("мальчик" муж. род).
А если это числительное употребляется с существительным женского рода, тогда используется форма с Е ( обеим, обеим, обеими): Например: В гости пригласили обеих девочек ("девочка" жен.род)
Мужской и средний род: ОБА, ОБОИХ, ОБОИМ, ОБОИМИ, (на) ОБОИХ
Женский род: ОБЕ, ОБЕИХ, ОБЕИМ, ОБЕИМИ, (на) ОБЕИХ.
Заведение - Оно - значит для обоих
А подтекст какой?
Я был студентом этих ОБОИХ учебных заведений
я посещал эти ОБА учебных заведения.
Поскольку учебное заведение среднего рода, то обОих
обеих учебных заведений