Я нанимаю ребёнку 14 лет репетитора. Должен ли ребёнок участвовать в подписании трудового договора?

наверное

Нет, не должен.
В этом договоре две стороны, вы работодатель, и рабочий - репетитор.
Ребёнок работодателем быть точно не может, так как несовершеннолетний=))
Вы же когда няню младенцу нанимаете не заставляете его нигде расписываться.
А та дееспособность, необходимая человеку для того, чтобы он был субъектом трудовых правоотношений наступает с 18 лет. С 14 лет ребёнок может самостоятельно только мелкие бытовые сделки заключать.

Да и не нужен в этом договоре ребёнок как сторона, пропишите что трудовая обязанность оказывать услуги именно этому ребёнку.... С репетиторами обычно гражданско-правовые договоры заключают, а если хотите постоянно его нанять и пристроить - это правильнее гувернёром/гувернанткой, а не репетитором называть.... Но можете и репетитором, от названия здесь мало что зависит, главное чётко и конкретно прописать трудовые функции, как можно чётче.

В договоре прописывают, в интересах кого он заключён (ФИО ребёнка) . Его участие в подписании не обязательно.

У вас не трудовой договор, а гражданско-правовой, т. е. договор оказания услуг. Ребенок не подписывает его, а в условиях вы пишите, что обучаете ребенка.