в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Докажите что площадь параллелограмма ABCD четыре раза больше площади треугольника COD
Чтобы доказать это, нужно доказать, что у всех четырех треугольников одинаковые площади. Это и сделаем.
1. АВ и СД одинаковы, также как и АД и СВ потому что противоположные стороны в параллелограмме равны.
2. Треугольники АВД и СВД равны по трем сторонам, смотри пункт 1, а третья сторона у них общая.
3. По свойству параллелограмма, диагонали в нем пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Рассмотрим треугольник АВД, он состоит из 2х треугольников АВО и АОД. Докажем, что их площади равны.
5. Из точки а на сторону ДВ опустим высоту (перпендикуляр) . Назовем ее АК.
6. АК является высотой и для треугольника АОД и АОВ. Значит высота у них одинаковая, стороны ОД и ОВ равны по пункту 3 нашего доказательства.
7. Площадь треугольника вычисляется по формуле одна вторая основания умноженная на высоту.
8. У треугольников АОД и АОВ все три компонента равны, следовательно и площади равны.
9. Аналогичны равны и треугольники ВОС и ДОС. А они составляют треугольник СВД.
10. По второму пункту доказательства мы знаем, что они равны. Отсюда получаем 4 одинаковых треугольника АОВ, АОД, СОД, СОВ. Все доказано.
⇢