Какая вода лучше ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ КУВШИНОМ ТИПА "БАРЬЕР" - прямо из под крана или отстоенная в банке?

Я из крана лью, потом кипячу в чайнике.

Конечно отстоянная! Частично уйдет хлор и осядет взвесь. Если это трехлитровая банка, сливаете спокойно, не болтая, примерно 2.5 литра (или сколько входит в кувшин) , а оставшуюся воду выбрасываете.
Так и фильтр прослужит дольше, и качество очистки будет лучше. Отстаивать достаточно несколько часов, желательно накрыв банку марлей, а не плотной крышкой.