С какой высоты в горах начинает сдавливать грудь?

Ни с какой.
Пока дышите - давление в легких (и всяческих воздушных пазухах типа гайморовых) выравнивается с наружным давлением.
А тушка (состоящая в основном из воды) перепада не чувствует.

И кстати, не "сдавливать" тогда уж, а растягивать - давление-то с высотой падает. Это на глубине дополнительный столб воды сдавливает замкнутый воздушный объем (если не дышать воздухом под давлением, равным забортному).