помогите пожалуйста составить уравнение к задаче

Question

требуется изготовить открытый циллиндрический бак данного объема V, причем стоимость квадратного метра материала, из которого изготавливается дно бака, равна Р1 грн. , а на стенки-Р2. при каком соотношении радиуса к высоте затраты на материалы будут наименьшими?

Joni Si · Accepted Answer

пусть радиус основания r, высота h, тогда объем V = pi*r*r*h 
h = V/(pi*r*r) 
 
стоимость P = P1*pi*r*r + P2*2*pi*r*h 
P = P1*pi*r*r + P2*2*pi*r*V/(pi*r*r) = pi*P1*r*r+2*V*P2/r 
P'(r) = 2pi*P1*r-2*VP2/(r*r) 
находим экстремум 
P' = 0 
2pi*P1*r = 2*VP2/(r*r) 
r = (V*P2/(pi*P1))^(1/3) 
это минимум, поскольку вторая производная в этой точке положительна 
 
искомое соотношение r/h = pi*r^3/V = pi*P2/(pi*P1) = P2/P1