Сколько из этих слов могут быть отнесены только к одной части речи: но, мол, уж, чай?

Ответ А) ни одного:

но: союз, междометие и несклоняемое с. (есть маленькое но)

мол – сущ. , частица, в качестве вводного слова может употребляться

уж – сущ. , наречие, частица

чай – сущ. , в качестве вводного слова может употребляться