Как доказать правило "минус на минус даёт плюс"?

это не аксиома, это теорема.
но чтобы доказать, надо сначала знать аксиомы.

если хотите - могу напрячься, тряхнуть стариной.. .

сначала определение: -1 - число противоположное числу 1, то есть такое, что -1 + 1 = 0. Его существование следует из соотв. аксиомы, его единственность - уже теоремка. Из другой несложной теоремы следует, что -1 и 1 взаимно противоположны, то есть противоположное к -1 это 1.

теперь посчитаем
(-1) +(-1)*(-1) = (-1)*1+(-1)*(-1)=(-1)(1+(-1))=-1*0=0
(каждая операция тут - по аксиомам)
получили, что (-1) +(-1)*(-1)=0, то есть (-1) и (-1)*(-1) - противоположные. Но мы знаем, что к -1 проивоположное 1, и знаем, что противоположное число всегда единственно, значит (-1)*(-1)=1

с категорией у вас все верно, математика относится именно к естественным наукам, хотя формально и не исследует природу непосредственно.

Впрочем, это большой вопрос. Например, электромагнитные волны были предсказаны как явление чисто математическим путем.