при каком значении параметра a уравнение cos x = x2 + a имеет единственный корень? чему он равен?

По сути - это два графика: косинусоида и парабола, смещенная по оси Y. При этом парабола должна касаться графика косинус. Значит касание может быть только в точке (0;1).
Значит а = 1. А корень: Х = 0.