Мужу отказали в прописки при части. Имеют ли они право?

Если он писал рапорт о ПРОПИСКИ, то отказали правомерно. Института прописки не существует уже около 20лет.
А вот если он в своем рапорте изъявлял желание быть зарегистрирован при в\ч и сослался на ч. 3 ст. 15 ФЗ "О статусе" и ему отказали, то это неправомерно. Пути решения проблемы зависят от действий в\служащего.