Как решить интеграл гиперболический синус в 4ой степени sh(4 степень)?

В общем то так же, как и обычный синус. Используя формулу двойного аргумента понижаем степень:
ch(2x) = 1 + 2sh^2(x)
откуда:
sh^2(x) = (ch(2x) - 1)/2
sh^4(x) = (ch^2(2x) - 2ch(2x) + 1)/4
Далее избавимся от ch^2(2x), используя формулу:
ch(4x) = 2ch^2(2x) - 1
Откуда:
ch^2(2x) = (ch(4x) + 1)/2
окончательно получим:
sh^4(x) = (ch^2(2x) - 2ch(2x) + 1)/4 = сh(4x)/8 + 1/8 + ch(2x)/2 + 1/4 = сh(4x)/8 + ch(2x)/2 + 3/8
Так что Ваш интеграл превращается в сумму трех простеньких интегралов. В первом замена переменной t = 4x, а во втором замена t = 2x сведет интегралы к табличным. Интеграл от сh(x) равен sh(x) + C.
Успехов!