Доказать a3+b3+c3=3abc, если a+b+c=0. В прошлом году просел на этом задании на олимпиаде. Хочу узнать решение.

ну так
используй формулу сокращенного умножения (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+ ..
вытащи оттуда сумму трех кубов, а остальное преобразуй, используя свое ограничение a+b+c=0
решение в 2 строчки