Какая часть речи слова должен

ДОЛЖЕН – это КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ, которое в современном русском языке не имеет полных форм.

ДОЛЖЕН – это краткое прилагательное, так как:
● на вопрос КАКОВ? отвечает;
● обозначает признак предмета;
● изменяется по числам (должен – должны), а в единственном числе по родам (должен – должна, должно);
● в предложении может быть сказуемым.

Когда-то прилагательное ДОЛЖЕН имело полную форму ДОЛЖНЫЙ, но так как полное прилагательное давно утратило значения «имеющий какой-либо долг, денежное или иное обязательство», «взятый в долг; не отданный – о деньгах)» и стало употребляться в значениях «такой, как нужно; подобающий, соответствующий», «такой, каким следует, подобает быть», то оно утратило свои краткие формы, которые «стали жить» самостоятельно, сохранив утраченные полными формами значения.