На работу приняли, а потом выяснилось что в медкнижке не хватает нескольких записей. Могу я не торопиться с прохождением

Нет, не можешь.
Это именно твоя проблема.
Если твоя работа зависит именно от наличия определенных анализов, то ты обязана их подтверждать и своевременно проставлять.
В противном случае тебя просто отстраняют от работы до тех пор, пока не пройдешь врачей.