Бывает такое, что сайт уже есть, а такой (его) домен занят? Что тогда делать? Как правильно это проверить?

Без паники!

Проверить, занят ли домен можно Здесь

Если домен занят - ещё на факт, что его нельзя купить. часто домены регистрируют сквотеры (их дивизию) .
Они специально пачками скупают красивые домены, а потом продают их за баснословные суммы (в расчёте
на то, что "вам домен нравится и не пожалеете средств").

Также домены можно купить на интернет-аукционах или просто свзаться с владельцем домена.
Узнать, кто владелец можно с помощью любого whois-сервиса. Напрмер этого.

3-й способ - просто зайти на сайт (написать домен в строке браузера) и найти страницу контактов. Далее - связаться
с владельцем сайта и предложить "сделку". Бывает, что соглашаются....Удачи!