wi-fi работает если компьютер выключен?

Нет

если вы имеете в виду роутер или точку доступа, то они работают сами по себе.

WiFi роутер не зависит от компьютера) Так, , что да.

на роутере постоянно соединение с интернетом и вай фай его раздает
на пк работает только когда включен пк

Если у вас WiFi роутер (это коробочка с антенной) -то не зависит .Если у вас usb wifi (Это такая не большая штука похожая на флешку ) то зависит .

Если раздачей сети занимается роутер - да. Иначе нет.