После окончания мед факультета в институте можно ли уехать на интернатуру в другой город?

да)

Можно в том случае, если вы не обучаетесь за счет государства. В противном случае- куда направят

Платно- в любое место, где вас примут

можно и за деньги и за бесплатно.... смотря где хотите