Если координаты векторов сторон параллелограмма заданы в 4-х мерном пространстве, то как определить площадь парал-ма?

Question

Стороны параллелограмма заданы векторами в 4-х мерном евклидовом пространстве. В 3-х мерном пространстве площадь пар-ма определяется как детерминант матрицы со строками 1)ортов, 2)координатами первого вектора, 3) координатами второго вектора, то как вычислить площадь параллелограмма в Е4 не вычисляя синус угла между векторами, а используя только координаты?

Алёна Евтеева · Accepted Answer

Квазивекторное 
 
i,j,k,u 
a1;a2;a3;a4; 
b1;b2;b3;b4; 
Собирай все миноры при i,j,k,u 
и сумма квадратов. (аналогично трехмерному) 
Q:=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)*(b1^2+b2^2+b3^2+b4^2)-(a1 *b1 +a2 *b2 +a3 *b3 +a4 *b4 )^2: 
 Q1:=(a1*b2-a2*b1)^2 +(a1*b3-a3*b1)^2+(a1*b4-a4*b1)^2 
 +(a2*b3-a3*b2)^2+(a2*b4-a4*b2)^2+ 
 (a3*b4-a4*b3)^2: Q-Q1 =0; 
Q = |a|*|b| * sin(q); - площадь. 
 Q = |a|*|b| * √(1-cos(q)^2); преобразуется. 
Косинус, через скалярное и модули. Это для проверки.

Diana · Answer

В пространстве выше 3 нет никакого векторного произведения. Определи уравнение плоскости, проходящей через вектора. Возьми проекции векторов на эту плоскость, дальше считай как обычно.