⇢ 
Мария
ДЧ
Дима Чичила
От противного.
Пусть корень из 250 - рациональное число. Тогда sqrt(250) = m/n, где m - целое, а n - натуральное. Потребую, чтобы дробь m/n нельзя было сократить. Это сделать очевидно возможно (если не очевидно: после сокращения натуральный знаменатель гарантированно уменьшается хотя бы на 1, но уменьшать бесконечно его невозможно, потому что n - конечное число) .
Возведу обе части равенства в квадрат.
250 = m^2/n^2
250n^2 = m^2
5^3 * 2 * n^2 = m^2
Левая часть делится на 2, значит, правая часть делится на 2 тоже.
Тогда m делится на 2, то есть m = 2*k, где k - некоторое целое число.
Тогда m^2 = 4*k^2 = 5^3 * 2 * n^2
5^3 * n^2 = 2 * k^2
По аналогичным причинам левая часть этого равенства кратна 2, то есть n = 2*p, где p - некоторое натуральное число.
Получаем, что m/n = (2k)/(2p) - противоречие с тем, что дробь m/n несократимая.
Тогда наше начальное утверждение неверно и корень из 250 - иррациональное число.
Отмечу, что в данном случае доказательство строилось вокруг простого множителя 2, а в более общем случае можно оттолкнуться от любого простого множителя в нечётной степени, например, можно было доказать то же самое относительно множителя 5.
СБ
Станислав Барбашов
От противного.
Пусть корень из 250 - рациональное число. Тогда sqrt(250) = m/n, где m - целое, а n - натуральное. Потребую, чтобы дробь m/n нельзя было сократить. Это сделать очевидно возможно (если не очевидно: после сокращения натуральный знаменатель гарантированно уменьшается хотя бы на 1, но уменьшать бесконечно его невозможно, потому что n - конечное число) .
Возведу обе части равенства в квадрат.
250 = m^2/n^2
250n^2 = m^2
5^3 * 2 * n^2 = m^2
Левая часть делится на 2, значит, правая часть делится на 2 тоже.
Тогда m делится на 2, то есть m = 2*k, где k - некоторое целое число.
Тогда m^2 = 4*k^2 = 5^3 * 2 * n^2
5^3 * n^2 = 2 * k^2
По аналогичным причинам левая часть этого равенства кратна 2, то есть n = 2*p, где p - некоторое натуральное число.
Получаем, что m/n = (2k)/(2p) - противоречие с тем, что дробь m/n несократимая.
Тогда наше начальное утверждение неверно и корень из 250 - иррациональное число.
Отмечу, что в данном случае доказательство строилось вокруг простого множителя 2, а в более общем случае можно оттолкнуться от любого простого множителя в нечётной степени, например, можно было доказать то же самое относительно множителя 5.
Похожие вопросы