Как правильно написать по английски имя Евгений - Evgeniy, Evgenie, Evgenii (так мне в загран паспорте написали).

Eugine - для женщины, и Eugene - для мужчины в гугле до хрена об этом. По любому, ты там Юджином будешь, как не пиши.

Yevgeniy
если написать с Е, то получится Ивгений
но вообще то как хочешь, так и пиши.
можно ещё Eugene, но произносить будут Юджин. если тебя это устраивает, то напиши так. маленький пример из собственной жизни. у меня сына зовут Артур. в Америке это имя пишут как ArtHur, я с дуру так и написала. только произносится оно как ОСУР. дебилизм! а знакомая своего сына записала как ArTUr. и все произносят нормально Артур, а не Осур, как моего!!!!

Для официальных документов как в загранпаспорте написали, так и пишите, иначе замучаетесь доказывать, что не верблюд.
Дело в том, что в Российской Федерации уже более 2 лет в загранпаспортах пишут не по-английски, а в соответствии с российским ГОСТом по транслитерации.