За услуги, входящие в программу страхования, с вас никто не будет брать деньги в больнице. Предъявляете полис и всё. А если вы хотите получить услугу сверх программы страхования, то нужно её оплатить. Никто вам эти суммы не компенсирует, потому что работодатель оплатил медпомощь в рамках программы, остальное - на ваше личное усмотрение. Потому и нужны оба полиса - ОМС и ДМС, т. к. ДМС расширяет границы программы ОМС. Если ДМС дублирует часть программы ОМС, то это фигня, а не страховка. Единственный плюс такого ДМС - возможность лечиться в больницах, которые не в ОМСе.
Есть нюанс: если вы лечились в рамках программы ДМС, а с вас взяли деньги за эти услуги, то вы можете написать претензию в страховую компанию - она проведет расследование. А с решением страховой компании можете подавать иск к больнице. Деньги вернут (через суд).