при встречи n друзей обменялись рукопожатиями. Докажите что число рукопожатий равно 0,5^2n

Это нельзя доказать, потому что это неправильно. Всего людей n. Каждый человек пожал (n-1) руку. Всего получилось бы n(n-1) рукопожатий, если забыть, что в каждом рукопожатии участвуют двое, так что при этом перемножении мы каждое рукопожатие учли дважды. Окончательно поэтому получается n(n-1)/2 рукопожатий.