Слоняется ли фамилия Лановой? Как правильно писать г-ну Лановой или г-ну Лановому?

Склоняется. Учите правила русского языка по склонению мужских и женских фамилий

Фамилии, заканчивающиеся на -ов, -ин, -вой склоняются (г-ну ЛановоМУ)...