Стоит ли уберать деревянный пол, чтобы положить линолиум или ламинат? и не будет ли холодно зимой?

Лес нынче дорогой чобы так им разбрасываться, проще и дешевле его перебрать, на лаги укладывать полосы рубероида, доски прокручивать латунными шурупами .

деревяный пол однозначно лучше. Люди, к-рые не могут позволить постелить новый, как вариант, перестилают старый. (И он уже не скрипит) .
Ламинат или линолеум - тоже можно, но такими теплыми как дерево не будут.

может стоит вызвать мастера и спросить советы по месту учитывая наличие основания и прочее

Положи новый деревянный пол, вот мне оч нравиться деревянные полы)) ) особенно когда они качественные)) ) попробуй синтетику, если не понравиться переделаешь на дерево...